Unterschied zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen

Die Analysis ist ein wichtiger Zweig der Mathematik, und die Differenzierung spielt eine entscheidende Rolle in der Analysis. Der umgekehrte Prozess der Differenzierung ist als Integration bekannt, und die Umkehrung ist als Integral bekannt, oder einfach ausgedrückt, die Umkehrung der Differenzierung ergibt ein Integral. Basierend auf den Ergebnissen, die sie erzeugen, werden die Integrale in zwei Klassen unterteilt, nämlich bestimmte und unbestimmte Integrale.

Definitives Integral



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Das bestimmte Integral von f (x) ist eine NUMMER und repräsentiert den Bereich unter der Kurve f (x) von x = a zu x = b .

Ein bestimmtes Integral hat obere und untere Grenzen für die Integrale und wird als definitiv bezeichnet, da wir am Ende des Problems eine Zahl haben - es ist eine bestimmte Antwort.



Unbestimmtes Integral

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Das unbestimmte Integral von f (x) ist eine FUNKTION und beantwortet die Frage: „Welche Funktion ergibt bei Differenzierung? f (x) ? '



Mit einem unbestimmten Integral gibt es keine oberen und Untergrenzen für das Integral hier und was wir bekommen, ist eine Antwort, die es noch gibt x Ist drin und hat auch eine Konstante (normalerweise bezeichnet mit C. ) drin.

Das unbestimmte Integral gibt normalerweise eine allgemeine Lösung für die Differentialgleichung.

Das unbestimmte Integral ist eher eine allgemeine Form der Integration und kann als Anti-Derivat der betrachteten Funktion interpretiert werden.



Nehmen wir eine Funktionsdifferenzierung an F. führt zu einer anderen Funktion f und die Integration von f ergibt das Integral. Symbolisch wird dies geschrieben als

F (x) = ∫ƒ (x) dx

oder

F = xƒ dx

wo beides F. und ƒ sind Funktionen von x , und F. ist differenzierbar. In der obigen Form wird es als Reimann-Integral bezeichnet und die resultierende Funktion begleitet eine beliebige Konstante.

Ein unbestimmtes Integral erzeugt oft eine Familie von Funktionen; Daher ist das Integral unbestimmt.

Integrale und Integrationsprozess sind am Herz Differentialgleichungen zu lösen. Im Gegensatz zu den Differenzierungsschritten folgen Integrationsschritte jedoch nicht immer einer klaren und standardmäßigen Routine. Gelegentlich sehen wir, dass die Lösung nicht explizit als Elementarfunktion ausgedrückt werden kann. In diesem Fall wird die analytische Lösung häufig in Form eines unbestimmten Integrals angegeben.

Fundamentalsatz der Analysis

Das bestimmte und das unbestimmte Integral sind durch den Fundamentalsatz der Analysis wie folgt verbunden: Um a zu berechnen definitives Integral , finde die unbestimmtes Integral (auch als Anti-Derivat bekannt) der Funktion und Bewertung an den Endpunkten x = a und x = b .

Der Unterschied zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen wird offensichtlich, wenn wir die Integrale für dieselbe Funktion bewerten.

Betrachten Sie das folgende Integral:

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IN ORDNUNG. Lassen Sie uns beide machen und den Unterschied sehen.

Für die Integration müssen wir dem Index einen hinzufügen, der uns zu folgendem Ausdruck führt:

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Zu diesem Zeitpunkt C. ist für uns nur eine Konstante. Für das Problem werden zusätzliche Informationen benötigt, um den genauen Wert von zu bestimmen C. .

Lassen Sie uns dasselbe Integral in seiner bestimmten Form bewerten, d. H. Unter Einbeziehung der oberen und unteren Grenzen.

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Grafisch berechnen wir jetzt die Fläche unter der Kurve f (x) = y3 zwischen y = 2 und y = 3 .

Der erste Schritt bei dieser Bewertung ist der gleiche wie bei der unbestimmten integralen Bewertung. Der einzige Unterschied ist, dass wir diesmal die Konstante nicht hinzufügen C. .

Der Ausdruck sieht in diesem Fall wie folgt aus:

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Dies führt wiederum zu:

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Im Wesentlichen haben wir 3 und dann 2 im Ausdruck eingesetzt und den Unterschied zwischen ihnen erhalten.

Dies ist der bestimmte Wert im Gegensatz zur Verwendung von Konstanten C. vorhin.

Lassen Sie uns den konstanten Faktor (in Bezug auf das unbestimmte Integral) genauer untersuchen.

Wenn das Differential von und3 ist 3y2 , dann

3y2dy = y3

Jedoch, 3y2 könnte das Differential vieler Ausdrücke sein, von denen einige enthalten und3-5 , und3+7 Dies impliziert, dass die Umkehrung nicht eindeutig ist, da die Konstante während des Vorgangs nicht berücksichtigt wird.

Also im Allgemeinen 3y2 ist das Differential von und3+ C. wo C. ist eine beliebige Konstante. C ist übrigens als das bekannt „Konstante der Integration“ .

Wir schreiben dies als:

3y2.dx = y3+ C.

Integrationstechniken für ein unbestimmtes Integral, wie z. B. Tabellensuche oder Risch-Integration, können während des Integrationsprozesses neue Diskontinuitäten hinzufügen. Diese neuen Diskontinuitäten treten auf, weil die Anti-Derivate die Einführung komplexer Logarithmen erfordern können.

Komplexe Logarithmen haben eine Sprungdiskontinuität, wenn die Streit kreuzt die negative reelle Achse und die Integrationsalgorithmen können manchmal keine Darstellung finden, in der sich diese Sprünge aufheben.

Wenn das bestimmte Integral bewertet wird, indem zuerst ein unbestimmtes Integral berechnet und dann die Integrationsgrenzen in das Ergebnis eingesetzt werden, müssen wir uns bewusst sein, dass eine unbestimmte Integration zu Diskontinuitäten führen kann. In diesem Fall müssen wir zusätzlich die Diskontinuitäten im Integrationsintervall untersuchen.